por Alejandro R. Álvarez Silva
El estado de un sistema cuántico se describe por medio de la función de onda ψ (r, t), y las variables dinámicas se representan mediante operadores hermitianos (operador lineal que coincide con su propio operador adjunto, y en el que sus autovalores son siempre reales) cuyas autofunciones forman un sistema ortonormal completo. La función de onda contiene toda la información físicamente de interés acerca del sistema, puesto que a partir de ella puede calcularse el valor esperado de cualquier variable dinámica.
En realidad todas las magnitudes físicas, llamadas observables, se representan por operadores autoadjuntos y sus valores medios A (r, p) vienen dados por
< A (r, p ) > = ∫ d3r ψ* A ψ = ∫ d3k φ* A φ
donde A es un operador cuya acción sobre ψ o φ se determina en cada caso según se elija la representación de coordenadas o de momentos.
Se define el producto escalar de dos vectores de onda ψ1 y ψ2 (omitiendo la dependencia en t) por la expresión
< ψ2 | ψ1> = ∫ d3r ψ22 (r) ψ1 (r) = ∫ d3k φ2* (k) φ1 (k)
La condición de normalización consiste en exigir que el vector de onda tenga norma unidad < ψ | ψ > =1.
El significado físico del producto escalar es que el módulo al cuadrado da la probabilidad de que la partícula con el vector de onda ψ1 esté a la vez en el estado con el vector de onda ψ2. Si los estados son independientes < ψ2 | ψ1 > = 0 que corresponde geométricamente a vectores ortogonales.
El valor medio de una magnitud física A (r, p) se representa como el producto escalar <A> = < ψ|ψ>.
Dos operadores no conmutan si el conmutador
[ A1 A2] = A1 A2 – A2 A1, es diferente de cero.
A† se llama operador conjugado de A, si para todo ψ1 y ψ2 de la clase escogida se cumple
< ψ2 | A ψ1> = < A† ψ2 | ψ1>
Sus valores medios son reales.
*Estudiemos ahora el oscilador armónico cuántico desde el punto de vista del álgebra de operadores. Para ello empecemos escribiendo el Hamiltoniano como
Ĥ = Px2/ 2m + ½ m w2 x2 (los valores en cursiva indican valores medios)
donde Px2 es la componente sobre el eje x del operador momento de la partícula.
Definimos las magnitudes
X = (mw/ħ)½ x , P = Px /(mħw)½
que permite expresar el Hamiltoniano como la suma de las formas cuadráticas
Ĥ = ½ ħ w ( P2 + X2)
Lo que sugiere definir un operador y su adjunto tales que su producto sean proporcionales al Hamiltoniano. Así, definimos el operador de bajada a y el de subida a†
a = 1/√2 (X + iP) , a†= 1/√2 (X –iP)
Se puede fácilmente comprobar que la relación de conmutación posición-momento
[X, P] =i se transforma en
[a, a†] = a a† - a† a =1 y que el Hamiltoniano se puede reescribir como
Ĥ = ½ ħ w (a a† + a† a ) = ħ w (a† a = ½)
El término ½ ħ w es consecuencia de que X y P no conmutan (principio de indeterminación).
Al operador de bajada (a) se llama también operador de aniquilación y el de subida (a†) operador de creación.
Estos operadores, pues, satisfacen las reglas de conmutación
[a, a†] = 1 , [a, a] = [a†, a†]= 0
Se define el operador de número N en la forma
N = a† a que resulta ser hermiteano.
En términos de este operador, el Hamiltoniano puede ponerse en la forma simple
Ĥ = ħ w (N+½)
Para el operador de creación se obtiene
a† |n> = (n+1)½ |n+1>
Y para el de aniquilación
a |n> = (n)½ |n-1>
La correspondencia entre la mecánica clásica y la cuántica de los operadores correspondientes a la posición y el momento es:
x= x ; y= y ; z = z
px = -i ħ δ/δx ; py = -i ħ δ/δy ; pz = -i ħ δ/δz
Así, como ejemplo, la energía cinética que se expresa como
Ecin = ½ m (vx2+vy2+vz2) = 1/2m (px2+py2+pz2)
al pasar a su versión cuántica queda en la forma
1/2m (px2+py2+pz2) = -ħ2/2m ∇2
*Para campos en el vacío, las ecuaciones de Maxwell clásicas de los campos electromagnéticos se expresan por las ecuaciones de onda
∇2 E – 1/c2 δ2E/ δt2 =0 ∇2 H – 1/c2 δ2H/δt2 =0
Siendo E el campo eléctrico y H el campo magnético, así como c la velocidad de la luz.
Si suponemos que los campos están dentro de una cavidad de volumen L3 y que el campo eléctrico está polarizado en la dirección x y el magnético en la dirección y, para un solo modo normal de amplitud q, podemos escribir
Ex(z, t) = ( 2w2m/ε0L3)½ q(t) sen (kz) ; Hy(z, t) = (2w2m/ε0L3)½(q*(t)ε0/k) cos (kz)
donde ε0 es la permitividad eléctrica en el vacío. El número de onda k y la frecuencia w cumplen k= w/c. La energía correspondiente viene dada por la función de Hamilton H
H= ½ ∫L3 (ε0 Ex2+μ0 Hy2) dv = ½ (mw2 q2+ p2/m)
siendo dv un elemento diferencial de volumen, p=m q* el momento canónico de q y μ0 la permeabilidad magnética. La expresión de la derecha es la energía del oscilador armónico clásico.
En mecánica clásica el producto qp es igual al producto pq, y se dice, pues, que q y p conmutan.
En el tratamiento cuántico se usan otros objetos matemáticos para representar la amplitud y su momento canónico. Se tiene la correspondencia q→Q, p→P. Pero estos nuevos símbolos son tales que sus producto no conmuta
[Q, P] = QP –PQ = iħ ; [Q, Q] = [P, P] =0
A Q y P se les llama operadores.
Como vimos en el oscilador, se definen también el par de operadores a y a† en la forma
a = 1/(2mħw)½ (mwQ+iP) , a† = 1/(2mħw)½ (mwQ-iP)
Operadores que satisfacen las reglas de conmutación
[a, a†] = 1 [a, a] = [a†, a†] = 0
Las expresiones anteriores de Ex y Hy en términos de los nuevos operadores serán
Ex (z, t) = ε (a+ a†) sen (k z) Hy (z, t) = -i ε0 c ε (a- a†) cos (k z)
ε se expresa en unidades de campo eléctrico.
Así que Ex y Hy son también operadores que representan la polarización de los campos eléctrico y magnético, así como es un operador la energía expresada por el Hamiltoniano
H = ħ w (a† a + ½), que sería el Hamiltoniano de un oscilador cuántico que tiene, entonces, valores discretos.
Investiguemos ahora los estados cuánticos correspondientes a cada valor En de la energía, al que asociamos con un vector |n>, pidiendo que éste sea la solución de la ecuación de eigenvalores H |n> = En |n>.
La primera solución ||0>> corresponde al estado de energía más baja (estado base) E0= ½ ħ w, que se obtiene fácilmente al notar que |0> también satisface la ecuación a|0> = 0. (El operador a ha “aniquilado” al estado base).
Se tiene también que
a† |0> = |1> y en general
a |n> = (n)½ |n-1> a† |n> = (n+1)½ |n+1>
Así que por iteración de a† n veces sobre el estado base, podemos expresar el vector arbitrario ||n>> en la forma
|n> = 1/(n!)½ (a†)n |0> n! = n (n-1) (n-2)…..2 ∗1
El esquema señalado para |n> indica que hay n fotones con energía En , y la acción de a (a†) sobre el estado |n> representa la pérdida (ganancia) de un fotón por parte del campo electromagnético. (Ésta es la razón por la que a y a† se conocen, respectivamente, como operadores de aniquilación y creación).
|0> significa ausencia de fotones con energía E0, que correspondería al vacío.
*La ecuación básica de Schrödinger de la mecánica cuántica
[ - ħ2 ∇2/2m + V (r) ] ψ (r, t) = i ħ δψ (r, t)/δt
adolece de dos problemas fundamentales
- Primero no es relativista, así que hay que modificarla por la ecuación relativista de la energía y el momento, resultando la ecuación de Klein-Gordon o la ecuación de Dirac.
- Y segundo, se complica extraordinariamente al intentar ampliarla a una gran cantidad de partículas. Además, las partículas mecánico-cuánticas de la misma especie son indistinguibles en el sentido que la función de onda del conjunto entero debe ser simétrica (bosones) o antisimétrica (fermiones), cuando las coordenadas de sus partículas cuánticas se intercambian.
La técnica empleada para tratar sistemas cuánticos de muchas partículas idénticas (bosones o fermiones) se llama formalismo de la segunda cuantificación, desarrollada a partir de 1927 por Paul A.M. Dirac para los bosones y extendido a los fermiones por Eugene Wigner y Pascual Jordan en 1928. Tal formalismo permite tomar en cuenta automáticamente en los cálculos los aspectos combinatorios que derivan de la estadística apropiada al tipo de partículas del sistema. Además facilita, como hemos dicho, extender la mecánica cuántica no relativista a sistemas en los cuales el número de partículas no es una constante del movimiento, extensión que por otra parte es necesaria para describir los fenómenos que se presentan en el dominio relativístico.
Supongamos que conocemos un sistema completo de autofunciones ortonormales de una partícula
ψ1 (ξ1), ψ2(ξ2),…
que pudieran corresponder, por ejemplo, a los estados estacionarios de la partícula en un campo de fuerzas ν (ξ). La variable ξ indica el conjunto de las variables espaciales r y de spin σ de una partícula, y los subíndices 1, 2,… representan los números cuánticos que identifican la autofunción.
Consideremos un sistema de n bosones que no interactúan y que están sometidos a ν (ξ). Si el sistema está en estado estacionario, cada una de las partículas que lo componen se encuentran en uno de los estados ψ1 (ξ), ψ2 (ξ),… Sea ni el número de partículas que están en el estado ψi; ni se denomina número de ocupación o población de dicho estado y puede ser nulo o tomar cualquier valor entero positivo ≤n. La enunciación de todos los números de ocupación de los estados ψi determina el estado del sistema, que queda especificado por
n1, n2,… enteros no negativos tales que ∑ ni = n.
Se usarán entonces para designar la función de onda del sistema, y escribiremos
ψn = ψn; n1,n2…
Los números de ocupación jugarán el rol de variables independientes, en vez de las variables habituales ξ1, ξ2,… de las partículas.
A continuación se introducen los operadores fundamentales ai de la segunda cuantificación (como anteriormente, por sencillez, las letras en cursiva las asimilamos a valores medios), que operan directamente sobre las variables n1, n2,… Se definen especificando su efecto sobre las funciones básicas ψn; n1,n2,… del espacio de números de ocupación ℰ del siguiente modo
ai ψn; n1,n2,…= (ni)½ ψn-1; n1,n2,…,ni-1,…
Es decir: el efecto de ai es reducir en una unidad el número de ocupación del estado i y multiplicar por (ni)½. Por tal motivo ai se denomina operador de aniquilación (de una partícula en el estado i). ai reduce en una unidad el número total de partículas, de modo que transforma funciones del subespacio ℰn en función del subespacio ℰn-1.
El operador ai† adjunto de ai aumenta en una unidad la población del estado i y multiplica la nueva función por (ni+1)½, según
ai† ψn; n1,n2,…,ni,… = (ni+1)½ ψn+1; n1, n2,…,ni+1,…
Por lo tanto ai† transforma funciones de ℰn en funciones de ℰn+1. Por este motivo ai† se denomina operador de creación (de una partícula en el estado i).
Operando se obtiene
ai† ai ψn; n1, n2,…,ni,….= ni ψn; n1, n2,…,ni,…
Así que ni está representado por una matriz diagonal cuyos elementos son ni. Entonces ni sería el operador número de partículas en el estado i.
El operador número total de partículas sería
n = ∑i ni = ∑i ai† ai
Y operando se obtiene la relación de conmutación entre ai y ai†
[ai, ai†] = ai ai† - ai†ai = 1
Los operadores de creación y aniquilación que operan sobre números de ocupación diferentes es obvio que conmutan, de modo que puede escribirse para todo i, j
[ai, aj†] = δij [ai, aj] = [ai†, aj†] = 0
Los operadores ai y aj† juegan el mismo papel que los operadores a y a† definidos anteriormente para el oscilador armónico.
Dichos operadores de creación y aniquilación permiten expresar cualquier variable dinámica del sistema de muchas partículas por medio de un operador que actúa sobre los números de ocupación.
Si fa(1) es el operador que representa una variable dinámica f de una partícula (por ejemplo, el impulso p) para la a-ésima partícula, esto es, el operador que actúa solamente sobre las variables ξa (a= 1,2,…..n), el correspondiente operador simétrico respecto a todas las partículas del sistema (digamos, el impulso total P, por ejemplo) se define como
F(1) = ∑a fa(1)
O sea, el efecto F(1) sobre cualquier estado del sistema de n partículas puede calcularse si se conoce su efecto sobre las funciones básicas ψn; n1,n2…
Al final, puede demostrarse que si la probabilidad que se produzca una transición es proporcional al número de partículas que ocupan el estado de partida, necesariamente debe ser también proporcional al número de partículas que quedan en el estado de llegada (condición de balance detallado).
La expresión anterior puede ponerse en función de los operadores de creación y aniquilación ai† y ak , en la forma
F(1) = ∑i,k f(1)ik ai† ak
Así que hemos podido pasar del operador ordinario anterior que actúa sobre funciones coordenadas, a un operador que actúa sobre las nuevas variables del espacio de números de ocupación ℰ.
La última expresión se parece a la
f = ∑i,k fki ai* ak
del valor medio de una variable dinámica f en un estado dado, escrito en términos de los coeficientes ai del desarrollo de la función de onda como superposición de estados estacionarios. De esto proviene el nombre “segunda cuantificación”.
El resultado se generaliza para operadores F(2) que representan una magnitud que depende de un par de partículas (por ejemplo, la energía potencial de interacción entre dos partículas cargadas). También para operadores F(n) que involucran cualquier número n de partículas.
De igual forma, el Hamiltoniano H del sistema de n partículas en interacción puede expresarse en función de los operadores ai y ai†.
Primero, en general H puede escribirse en la forma (en la aproximación no relativista)
H = ∑a ha(1) + ∑a>b νab(2) + ∑a>b>c(3) +….
ha(1) es la parte de H que depende de las coordenadas de la a-ésima partícula y tiene la forma
ha(1) = - ħ2 ∇a/2m + ν(1) (ra)
donde ν(1) (ra) es la energía potencial de la partícula en el campo externo. Los otros términos corresponden a las interacciones entre las partículas, separando por comodidad los términos que dependen las coordenadas de dos, tres,…etc. partículas.
Y pasando a los operadores anteriores de creación y aniquilación resulta, tras un pequeño cálculo
H = ∑i,k h(1)ik ai† ak +½ ∑i,k,l,m ν(2)iklm ai† ak† al am +…
que es un operador que actúa sobre las funciones de los números de ocupación.
En el caso de partículas que no interactúan, sólo subsiste el primer término
H = ∑i,k h(1)ik ai† ak
Si las ψ1 (ξ), ψ2 (ξ),… son las autofunciones del Hamiltoniano de una partícula, de modo que h(1)ψi = ei ψi, la matriz Hik es diagonal y se tiene
H = ∑i ei ai† ai = ∑i ei ni
De donde reemplazando los operadores ni por sus autovalores ni, obtenemos los niveles de energía del sistema como
En; n1, n2,…= ∑i ei ni como habría que esperar.
*La segunda cuantificación se puede aplicar a una base continua introduciendo los operadores de campo, que se definen por
ψ (ξ) = ∑i ψi (ξ) ai ψ† (ξ) = ∑i ψi* ai†
Ahora, ai y ai† se expresan en términos de los operadores de campo anteriores como
ai = ∫ ψi*(ξ) ψ (ξ) dξ ai† = ∫ ψi (ξ) ψ† (ξ) dξ
Claramente, en virtud de las propiedades de ai y ai†, los operadores ψ (ξ) y ψ†(ξ) disminuyen y aumentan en una unidad, respectivamente, el número total de partículas del sistema.
Operando, se encuentra la expresión del operador F(1) para el espectro continuo de un observable de un campo de bosones
F(1) = ∑i,k ∫ ψ1*(ξ) f(2)ψk (ξ) dξ ai† ak = ∑i,k f(1)ik ai† ak
Que coincide con la anteriormente hallada del espectro discreto.
Y de igual forma se opera con F(2).
Para H se obtiene el valor medio de la energía del sistema cuando las n partículas están en el estado ψ (ξ).
Resumiendo, si el sistema está constituido por varias clases de bosones (fotones, etc.), hay que introducir en el formalismo de segunda cuantificación los operadores de aniquilación y creación a, a†, o bien los de campo ψ, ψ† para cada clase de partículas.
Todas estas ideas básicas del método de segunda cuantificación se mantienen para los sistemas constituidos por fermiones (electrones, etc.) idénticos, pero aquí la función de onda ψn; n1,n2,…es antisimétrica, por lo que es importantísimo establecer una convención para determinar su signo.
En este caso, los operadores de aniquilación y creación de fermiones, se definirán por
ai ψn; n1,n2,…,ni,…= (-1)Ti (ni)½ ψn-1;n1,n2,…,ni-1,…
ai† ψn;n1,n2,….,ni,…= (-1)Ti (ni+1)½ψn+1;n1,n2,…,ni+1,…
Si ni es e operador número de partículas en el estado i
n = ∑i ni = ∑i ai† ai
es el operador número total de partículas.
Se obtiene que
ak ai† + ai† ak = 0, i≠k
ai ai† + ai† ai = 1
ak ai + ai ak = 0
ak† ai† + ai† ak† = 0
Que constituyen las relaciones de anticonmutación para los fermiones.
Si no hay interacción entre las partículas, las ecuaciones de movimiento de fermiones y bosones se reduce a
iħ dψ (ξ)/dt = h(1)(ξ) ψ (ξ)
que es formalmente idéntica a la ecuación de Schrödinger para una partícula
iħ dψ(ξ)/dt = h(1) ψ (ξ) (*)
Pero hay que recalcar, sin embargo, que ψ (ξ) es un operador de campo y no una función de onda ordinaria, así que la primera ecuación puede considerarse como la “versión cuantificada” de la ecuación de Schrödinger (si interpretamos esta última como la ecuación de un campo clásico ψ (ξ), como por ejemplo la onda asociada a una partícula como un electrón).
Para finalizar decir que los operadores de creación y aniquilación en la representación de interacción (para t ≠ 0) se escriben en la forma
ak→(t) = eiH* t ak→ e-iH*t ak†→(t) = eiH*t ak†→ e-iH*t
Hemos sustituido H* por H0S, y ak→ y ak†→ son los operadores correspondientes en la representación de Schrödinger o en la representación de interacción a t=0.
Una expresión más compacta de los mismos es
ak→(t) = ak→(0) e-iWkt ak†→(t) = ak†→(0) eiWkt
donde la última resulta la adjunta de la anterior.
A partir de aquí nos introducimos en la Teoría Cuántica de Campos, al tomar como punto de partida la ecuación (*), interpretando que dicha ecuación rige la dinámica de los operadores de campo ψ (ξ) y ψ† (ξ), operadores que cumplen las reglas de conmutación fundamentales si el campo describe bosones o bien las relaciones de anticonmutación si se trata de fermiones.
REFERENCIAS
Mecánica Cuántica…Alberto Galindo, Pedro pascual. EUDEMA UNIVERSIDAD.1989
La “Susy” de los físicos…CIENCIAS. Revista de difusión.1987
Teoría cuántica Relativista..Beresteiskii, Lifshitz y Pitaenskii. Editorial Reverte. 1975
Estados coherentes y gatos de Schrödinger. Sara Cruz y Cruz, Oscar Rosas Ortiz. CINVESTAV.Enero-Marzo 2008
Física Cuántica.. Joaquín Sánchez Guillén, Mijail A.Braun. Alianza Universidad.1993
WIKIPEDIA (Diagramas de Feynman, axiomas de Wighman, teoría cuántica de campos, operador mecánica cuántica, operador hermitiano, operador escalera, grupo unitario, estado de Fock, cálculo tensorial, producto tensorial, notación cor-chete, formulación matemática de la mecánica cuántica, etc.)
HYPERLINK "http://www.lfp.uba.ar/Julio-Gratton/cuantica/14.Segunda/020c.pdf" http://www.lfp.uba.ar/Julio-Gratton/cuantica/14.Segunda/020c.pdf
HYPERLINK "http://www.cica.es/aliens/dfamnus/cursos/tcc//tema6.pdf" http://www.cica.es/aliens/dfamnus/cursos/tcc//tema6.pdf
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