Proceso Politrópico

Calor Intercambiado:

Por el primer principio y la ecuación (22), para un mol de gas ideal

δQ = C.dT = CV.dT + P.dV  entre dos estados 1 y 2:

Proceso Politrópico

(pues C = cte)

Variación de Energía Interna

De la ecuación (6): dU = CV .dT, entre dos estados 1 y 2:

Variación de Energía Interna

(suponiendo que CV = cte)

Variación de la entalpía

De la ecuación (13): dH = CP.dT

Variación de la entalpía

(suponiendo que CP = cte)

Trabajo exterior

Cuando se conocen las capacidades caloríficas molares C y CV, se puede calcular W aplicando el Primer Principio:

Q = ΔU + W por lo tanto W = Q - ΔU reemplazando:

W = C (T2 - T1) - CV(T2 - T1) = (C - CV) (T2 - T1)     (29)

Si se conoce el exponente politrópico n , partimos de la ecuación:

Trabajo exterior

Reemplazando:

Trabajo exterior

Reemplazando K y sacando factor común V11-n

Trabajo exterior

Como P1.V1n = P2.V2n

por lo tanto

Trabajo exterior

Trabajo exterior  (30)

O también , como P1.V1 =R.T1  y  P2.V2 = R.T2

Trabajo exterior  (31)

Trabajo de circulación

Conociendo C y Cp se puede calcular Wc aplicando la ecuación del primer principio:

Q = ΔH + Wc

por lo tanto

Wc = Q - ΔH

reemplazando:

Wc = C(T2 - T1) - Cp (T2 - T1) = (C - Cp)(T2 - T1)    (32)

Conociendo el exponente politrópico partimos de la ecuación:

Trabajo de circulación

De donde

Trabajo de circulación

Reemplazando:

Trabajo de circulación

Trabajo de circulación

multiplicando por (-1) numerador y denominador y reemplazando K1:

Trabajo de circulación

Trabajo de circulación

Trabajo de circulación

como:

Trabajo de circulación

Trabajo de circulación

Trabajo de circulación   (33)

O también:

Trabajo de circulación   (34)

Relación entre el trabajo exterior y el trabajo de circulación

Si comparamos las ecuaciones (31) y (34), deducimos que entre dos estados de una transformación politrópica, se cumplirá:

Wc = n.W (35)

o sea que el trabajo de circulación es igual al trabajo exterior multiplicado por el exponente politrópico. En una transformación isotérmica donde n = 1, ambos trabajos son iguales.

Proceso Adiabático

En un proceso adiabático : Q =0 , C=0 , Proceso Adiabático La ecuación de una adiabática será: (reemplazando n por γ en las

ecuaciones (26) , (27) y (28):

Tomando como parámetros P y V:

V.Pγ = cte

Tomando T y V :

V.Tγ−1 = cte

Tomando T y P:

Proceso Adiabático

Calor intercambiado

Como ya dijimos: δQ = 0 en consecuencia Q = 0, entre los estados 1 y 2.

Variación de energía interna

Proceso Adiabático

Variación de entalpía

Proceso Adiabático

Trabajo exterior

En la ecuación (29), como C = 0 , se cumple que:

W = CV(T2 - T1) = CV(T1 - T2)

Expresión que podría obtenerse del primer principio:

W = Q - ΔU = -ΔU = CV(T2 - T1) = CV(T1 - T2)

Esta ecuación nos dice que en una expansión adiabática, donde W es positivo, la diferencia T1 – T2 debe ser positiva, es decir T2>T1. Esto indica de que en la expansión adiabática el gas sufre un enfriamiento.

También se puede obtener una expresión del trabajo exterior, a partir de las ecuaciones (30) y (31), reemplazando n por γ.

Proceso Adiabático

Trabajo de circulación

Reemplazando C=0 en la ecuación (32)

WC = - CP(T2 - T1) = CP(T1 - T2)

O también por la expresión del primer principio:

WC = Q - ΔH = -ΔH = CP(T2 - T1) = CP(T1 - T2)

Obtenemos otras ecuaciones reemplazando n por γ en (33) y (34):

Trabajo de circulación

ó

Trabajo de circulación

Relación entre We y WC

Reemplazando n por γ en la ecuación (35) se cumple:

WC = γ.We

Proceso Isobárico

En un proceso isobárico P=cte , C = CP y n = 0

Calor intercambiado

Proceso Isobárico

Aplicando la ecuación (22) para un mol de gas:

δQ = C.dT = CP.dT Para dos estados 1 y 2:

Trabajo de circulación

También se puede calcular aplicando la expresión del primer principio:

Q = ΔU + W

Variación de la energía interna

Proceso Isobárico

Variación de entalpía

Proceso Isobárico

Se puede observar que Q = ΔH

Trabajo exterior

Aplicando la ecuación (29) y como C = CP, resulta:

W = (CP - CV)(T2 - T1) y por la ecución de Mayer:

W = R.(T2 - T1)

También se puede calcular aplicando la ecuación: Proceso Isobárico

Como P es constante: W = P(V2 - V1)

Trabajo de circulación

Reemplazando C =CP en la ecuación (32) resulta

W = (CP - CP)(T2 - T1) = 0

Este mismo resultado se obtiene aplicando la ecuación:

Proceso Isobárico como P = cte entonces dP=0 luego: WC=0

O también de las ecuaciones (33) y (34) pues n=0.

Proceso Isocórico

En un proceso isocórico V=cte , C = CV y n = ∞

Calor Intercambiado

Aplicando la ecuación (22) para un mol de gas:

δQ = C.dT = CV.dT

Para dos estados 1 y 2:

Proceso Isocórico

Variación de energía interna

Proceso Isocórico

Se puede observar que en esta transformación Q=ΔU

Variación de entalpía

Proceso Isocórico

Trabajo exterior

Aplicando la ecuación (29) y como C = CV, resulta:

W = (CV - CV)(T2 - T1) = 0

También se puede calcular aplicando la ecuación: Proceso Isocórico

como V=cte entonces dV=0 luego W=0

También se verifica que W es nulo si reemplazamos n=∞ en las ecuaciones (30) y (31).

Trabajo de circulación

Reemplazando C =CV en la ecuación (32) resulta

W = (CV - CP)(T2 - T1) = (CP - CV)(T1 - T2) = R(T1 - T2)

Este mismo resultado se obtiene aplicando la ecuación:

∫−=21.dPVWC como V = cte

WC = - V(P2 - P1)= V(P1 - P2)

Proceso Isotérmico

En un proceso isotérmico T=cte, C=∞ n=1

Calor intercambiado

Para calcular Q no podemos aplicar la ecuación (22) pues llegaríamos a una indeterminación, ya que C=∞ y dT=0.

Recurrimos entonces a la expresión del primer principio:

Q = ΔU + W como veremos que ΔU=0, directamente Q=W

Variación de energía interna

Proceso Isotérmico   como dT =0 entonces ΔU=0

Variación de entalpía

Proceso Isotérmico   como dT=0 entonces ΔH=0

Trabajo exterior

Para calcular W no podemos utilizar la ecuación (29) pues llegamos a una indeterminación. Debemos aplicar entonces la ecuación:

Proceso Isotérmico

Como para un mol de gas ideal P.V=R.T entonces Proceso Isotérmico reemplazando

Proceso Isotérmico

como también se cumple la ecuación P.V =cte ya que en la (26) se puede reemplazar n=1, será:

P1V1 = P2V2  luego Proceso Isotérmico y también:  Proceso Isotérmico

Trabajo de circulación

Por la misma razón explicada anteriormente, el trabajo de circulación se deberá calcular mediante la ecuación:

Proceso Isotérmico

reemplazando:

Proceso Isotérmico

Proceso Isotérmico

Se puede observar que WC = W, lo cual cumple la ecuación (35).

Sáb, 18/10/2008 - 20:00